【第4回】この極限ってなんだろう？解答！！
皆さんこんばんは。はせです。
今日は昨日の問題の解答を書いていきたいと思います！
ちなみに問題はこちらでしたね！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
ちなみに問題はこちらです。
\[\lim_{x\to 0}\frac{e^x}{1+e^{\frac{1}{x}}}\]
今回の問題はどうやって解いていくのでしょうか。ぜひ最後までご覧ください！
【解答】
まずこの関数は連続でしょうか。関数を注意深く観察してみましょう。
\[f(x)=\frac{e^x}{1+e^{\frac{1}{x}}}\]
この時、分母を見てみましょう。\(e\)の肩に\[\frac{1}{x}\]がのっかっています。
ここで、\[g(x)=\frac{1}{x}\]を考えてみましょう。これは\(x=0\)の時に無限大に飛んでいってしまいます。
ちなみに\(g(x)=\frac{1}{x}\)は不連続関数ですよね。図示してみれば分かります。
さぁここで本題です。今回の\(f(x)\)の分母が不連続関数であるということは、自ずと\(f(x)\)も不連続になりますね。
それも不連続になる点は、\(x=0\)ですね。 （\(g(x)\)より）
この点での極限を考えてみましょう。
\[\lim_{x\to -0}\frac{e^x}{1+e^{\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{-x}}{1+e^{-\frac{1}{x}}}\]
\[=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}}=\frac{1}{1+0}=1\]
\[\lim_{x\to+0}\frac{e^x}{1+e^{\frac{1}{x}}}=0\]
これより右極限と左極限の値が異なりました。つまり今回もあれです。
「極限は存在しない」です。
以上になります。
第2回？と同じ答えの形になりましたね。時にはこういう問題も出てくるので連続性には注意して極限とは向き合っていきましょう！
次回の記事も楽しみにしていてください！ではまた次回！
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