【数学考察02】無理関数の積分！part1
みなさんこんにちは。
今回は「私の数学考察」第2弾となります！
前回の複素数平面上での5心の話はまた時間があれば書きたいと思いますので、乞うご期待！
今回は無理関数の積分part1について考えていきたいと思います！
まず第一弾は、
\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx・・・①\]について考えていきます！
とりあえず置換しましょう。\(x=\tan u\)と置きます。すると、\[dx=\frac{1}{\cos^2 u}du\]になることが出来ますね。
これを①式に置換すると、\[\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int \cos u \frac{1}{\cos ^2 u}du=\int \frac{\cos u}{1-\sin^2 u}du・・・②\]
となることが分かりますね。
ここでまた置換してみましょう。試しに\(t=\sin u\)とします。これは\[dt=\cos u du\]となり、②式の\(\cos u du\)を無くすことが出来ます。つまり、
\[\int \frac{\cos u}{1-\sin^2 u}du=\int \frac{1}{1-t^2}dt・・・③\]
ここからは部分分数分解などを使いながら積分していきましょう。
\[\int\frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+t}dt+\frac{1}{2} \int\frac{1}{1-t}dt\]
\[=\frac{1}{2}\log |1+t|-\frac{1}{2}\log |1-t|+C=\frac{1}{2}\log\frac{|1+t|}{|1-t|}+C\]
\[=\frac{1}{2}\log\frac{|1+\sin u|}{|1-\sin u|}+C\]
\[=\frac{1}{2}\log \frac{|1+\sin (\tan^{-1}x)|}{|1-\sin (\tan^{-1}x)|}+C\]
（Cは積分定数とする）
これより答えを出すことが出来ます。
これが答えでも大丈夫です。
しかし今回はより先に進みましょう！
みなさんならこの置換を見たことがあると思います。
\[t=x+\sqrt{x^2+1}\]
確かにこれで今回の積分はうまく解けます。それについて考察していきましょう。
\[\frac{1}{2}\int\log\frac{|1+\sin u|}{|1-\sin u|}+C\]
\[=\frac{1}{2}\log |\frac{(1+\sin u)(1+\sin u)}{(1-\sin u)(1-\sin u)}|+C=\frac{1}{2}\log|\frac{(1+\sin u)^2}{1-\sin^2 u}|+C \]
\[=\log |\frac{1+\sin u}{\cos u}|+C=\log |\frac{1}{\cod u}+\tan u|+C\]
今回、\[\tan u=x , \tan^2 x+1=\frac{1}{\cos^2 x}より\frac{1}{\cos x}=\sqrt{1+x^2}\]
を用いると、
\[\log |\frac{1}{\cod u}+\tan u|+C=\log |\sqrt{x^2+1}+x|+C\]
\[\int \frac{1}{]\sqrt{1+x^2}dx=\log (x+\sqrt{x^2+1})+C\]
ということが分かります。
これから、\(t=x+\sqrt{x^2+1}\)の置換が効果的なことが分かるのですね。
いかがでしたでしょうか！
次回の無理関数の積分シリーズは何にするかまだ決めかねてます！
よかったらこれがいいんじゃない？という物があれば下にある公式アカウントに連絡ください！
ではまた次回！
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