【数学考察01】複素数平面上の五心の一般化について！Part1
みなさんこんにちは。
これを書いている著者（筑波大学数学類）の気になったことを書いていく
「私の数学考察」
というのをこれから不定期で始めていきたいと思います。
数学好きに届くように頑張ります！
ぜひ気になったら見てください！
今回は複素数平面での五心の一般化について書いていきます！
まずPart1は三心（重心、外心、垂心）について書いてみましょう！
たぶんこれは難関大学レベルか最難関大学レベルかなーって思います。良かったら見てください！
では行きましょう！
前提条件として、複素数平面上の△ABCのそれぞれの頂点を、\(A(\alpha),B(\beta),C(\gamma)\)と置いときます。
重心
重心とは、頂点とその対辺の中点を結ぶ線のことを中線を1：2に内分する点です。
重心を\(G(\zeta)\)と置くと、
\[G(\zeta)=\frac{1}{3}(\alpha+\beta+\gamma)\]
となる。
外心
△ABCの外心を\(K(\zeta)\)と置く。ここで外心とは外心と各点の距離が等しい、つまり
\[|\zeta-\alpha|=|\zeta-\beta|=|\zeta-\gamma|\]
の式が得られる。これはつまり、\[|\zeta-\alpha|^2=|\zeta-\beta|^2=|\zeta-\gamma|^2\]が得られます。
上式を展開して、\(\bar \zeta\)の式に変形すると、
\[(\zeta-\alpha)\overline{(\zeta-\alpha)}=(\zeta-\beta)\overline{(\zeta-\beta)}\]
\[(\zeta-\alpha)(\overline\zeta-\overline\alpha)=(\zeta-\beta)(\overline\zeta-\overline\beta)\]となる。これを展開し、\(\overline\zeta\)の形に変形すると、\[\overline\zeta=\frac{(\overline\beta-\overline\alpha)\zeta+\alpha\overline\alpha-\beta\overline\beta}{\alpha-\beta}\]と書けます。
これを\[|\zeta-\beta|^2=|\zeta-\gamma|^2\]でも計算し、\(\overline\zeta\)を計算すると、
\[\overline\zeta=\frac{(\overline\gamma-\overline\beta)\zeta+\beta\overline\beta-\gamma\overline\gamma}{\beta-\gamma}\]となりますね。この2式を用いて、\(\zeta\)を求めると、\[\frac{(\overline\beta-\overline\alpha)\zeta+\alpha\overline\alpha-\beta\overline\beta}{\alpha-\beta}=\frac{(\overline\gamma-\overline\beta)\zeta+\beta\overline\beta-\gamma\overline\gamma}{\beta-\gamma}\]
\[(\beta-\gamma)((\overline\beta-\overline\alpha)\zeta+\alpha\overline\alpha-\beta\overline\beta)=(\alpha-\beta)((\overline\gamma-\overline\beta)\zeta+\beta\overline\beta-\gamma\overline\gamma)\]
となり、これより、
\[K(\zeta)=\frac{(\alpha-\beta)\gamma\overline\gamma+(\beta-\gamma)\alpha\overline\alpha+(\gamma-\alpha)\beta\overline\beta}{(\alpha-\beta)\overline\gamma+(\beta-\gamma)\overline\alpha+(\gamma-\alpha)\overline\beta}\]
が得られますね。
垂心
垂心を\(H(\zeta)\)と表します。今回\[AH⊥BC,BH⊥CA\]であることは条件から分かるので、これを極形式ではなく、複素数を用いて表現すると、
\[\overline\zeta=-\frac{\overline\beta-\overline\gamma}{\beta-\gamma}\zeta+\frac{\overline\beta-\overline\gamma}{\beta-\gamma}\alpha+\overline\alpha=-\frac{\overline\gamma-\overline\alpha}{\gamma-\alpha}\zeta+\frac{\overline\gamma-\overline\alpha}{\gamma-\alpha}\beta+\overline\beta\]
となります。この右の2辺で等式を結び、\(\zeta\)の式に変形すると、
\[H(\zeta)=\frac{(\alpha-\beta)(\alpha\overline\beta+\overline\alpha\beta)+(\beta-\gamma)(\beta\overline\gamma+\overline\beta\gamma)+(\gamma-\alpha)(\gamma\overline\alpha+\overline\gamma\alpha)}{\alpha(\overline\beta-\overline\gamma)+\beta(\overline\gamma-\overline\alpha)+\gamma(\overline\alpha-\overline\beta)}\]
が得られる。
今回は、重心、外心、垂心について記事にしました！
次回は内心、傍心について書きたいと思います！
ではまた次回！
学び舎栄智は主に筑波大生で運営しているオンライン学習塾です。受験のことで何かわからないことがありましたら、連絡してきてください！きっと求めている答えが来ると思います。
AC、推薦、前期、後期入試で気になっていることでも大丈夫です。聞きたいことがあれば下のtwitterアカウントまで！
