【第1回】この数式っていくつだろう？

みなさんこんばんは。はせです。

今日は木曜日でいつもなら極限の問題の話をすると思うのですが、今日はちょっと休憩ということで。

今回は面白い数式を考えていこうと思います！とりあえず第1弾ということにしておきましょう。（もし面白かったら続けてやっていこうと思います。）

今回の数式はこちら⇩

\[2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]

無限にルートが続きますね。

これについて考えてみましょう。

実はこれ、高校数学の知識で考えることが出来ます。今回は2つ考え方を乗せたいと思います。では行きましょう！

【考察1】

まずこのどこまでも続くルートをxと置いてみましょう。つまり、

\[x=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]

ですね。

ここで左辺に2を移項すると、

\[x-2=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]

となり、両辺2乗してみると左辺にさっきまでと見慣れたものが出てきます。

\[(x-2)^2=(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}})^2=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}\]

なんと\(x\)がでてきましたね。

これより式は、\[(x-2)^2=x\]と書けます。

これは、簡単な二次方程式\[x^2-5x+4=0\]

となるますね。

この解は、\[x^2-5x+4=(x-4)(x-1)=0\]

つまり\(x=4,1\)となります。

しかしこれ、両方が解答でいいのでしょうか。

\[x=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]

って、1より小さいことってあるのでしょうか...?

ここで、ルートは正であることを考えれば、

\[x=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}>2\]

となり、\(x>2\)となり、答えが\[x=4\]であることが言えます。

【考察2】

\(x\)の取り方は変わらないとしましょう。

\[x=2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]

ここで、右辺のルートの中にも同じ\(x\)が入っていると考えられるので、

\[x=2+\sqrt{x}\]

と書けます。これより2を左辺に移項して

\[x-2=\sqrt{x}\]にして、両辺2乗すれば【考察1】と同じ式を得ることが出来ます。

ここから先は同じです。

いかがでしたでしょうか。まさか\[2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+・・・}}}}\]の値が4になるとは思いませんでしたね。

計算してみるとあんがい分かりやすい数字になるのですね。

こういう問題をこれからもたくさん紹介していけたらいいな、と思います！

ではまた次回！

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