0^0っていつくだろう？
どうもこんにちは。
はせです。
今回は\[0^0\]の値を考えていきたいと思います！
（ちなみに0^0って絵文字かわいいですよね笑）
これを考えるためには\[y=x^x\]を考えていくと、自ずと答えが分かります。
ではいきましょう！
STEP1 \(y=x^x\)のグラフを書く
\[f(x)=x^x\]とおきます。これはこのまま微分は出来ません。両辺底がeの\(\log\)を取りましょう。
\[\log f(x)=x \log x\]
こうなりますね。これを\(x\)で微分してみましょう。ちなみに\(f(x)\)を\(x\)で微分すると、
\[\frac{d}{dx}\log f(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\]と、なりますね！
これより\[\log f(x)=x \log x\]を\(x\)で微分してみましょう。
\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\log x +x\times \frac{1}{x}=\log x +1\]
つまり、
\[f'(x)=(\log x +1)f(x)=(\log x +1)x^x\]となります。
次に\(f'(x)=0\)を求めていきましょう。\[(\log x +1)x^x=0\]
これより、\(\log x=-1\)が得られますね。
これより極値は\(x=\frac{1}{e}\)であることが分かります。
導関数\(f'(x)\)に注目してみると、
\[0<x<\frac{1}{e}では、f'(x)<0\]
\[\frac{1}{e}<xでは、f'(x)>0\]
となりますので、\[f(x)=x^x\]のグラフの概形は次のようになります。
ちなみに極値は、\[f\left(\frac{1}{e}\right)=\left(\frac{1}{e}\right)^\frac{1}{e}\]
であることが分かりますね。
STEP2 この概形より、\(0^0\)を考える
この概形の中で\(x=0\)を考えましょう。その点はどこでしょう？
緑の点ですね。この点って1になりますよね。これより、
\[0^0=1\]
であることが言えますね。
以上より、\[0^0=1\]であることが分かりました。
どうでしょうか？
他にもよくわからないのってありますよね。\[i^i\]とか。
これも後には記事にしていこうと思うので、ぜひご覧ください！
ではまた次回！
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