5^iっていくつなんだろう？
どうもこんにちは。
はせです。
今日はただ気になったことを話していきたいと思います。
今回は\[5^{i}\]っていくつなの？（iは虚数単位とする）
について考えていこうと思います。
これを考えていくうえで必要な考えは下のみです。
そうです。有名なオイラーの公式です。
\[e^{ix}=\cos x +i \sin x\]
これですね。
このオイラーの公式を用いて、\(5^i\)を求めてみましょう！
【解答】
まずは、\(5^i\)と\(e^{ix}\)の関係性を考えないといけません。
ここで、任意の複素数\(\mathrm k\)をとり、\[5^x=\mathrm{k} e^{x}\]
を解いてみましょう。
解き方は問題ありませんね。
\[\mathrm{k}=\frac{5^x}{e^x}\]
より、底が\(e\)の自然対数を両辺に取りましょう。すると、
\[\ln{\mathrm{k}}=\ln{5^x}-\ln{e^x}=x\ln{5}-x (\log_e{x}=\ln{x}) \]
\[\ln{\mathrm{k}}=x(\ln{5}-1) , \mathrm{k}=e^{x(\ln{5}-1)}\]
となり、\(\mathrm{k}\)の値を求めることが出来ました。
これより、\[5^x=e^{x(\ln{5}-1)}e^x=e^{x\ln{5}}\]
となりますね。
ここで、\(x=i\)を入れてみましょう。すると、
\[5^i=e^{i\ln{5}}\]が得られると思います。
ここでオイラーの公式の出番です。
\[e^{ix}=\cos x +i \sin x\]より、
\[5^i=\cos \ln5+i \sin \ln5\]
となりますね。これってどのくらいなんだろうか？
\(\ln5=1.60943791243\)より、
\[5^i=\cos(1.60943791243)+i \sin(1.60943791243)\]ですね。これでもわかりにくい。
\[\sin(1.60943791243)=0.028086296767554\]
\[\cos(1.60943791243)=0.99605502152667\]
より、まぁ大体、
\[5^i=0.99605502152667+(0.028086296767554)i\]
となります。
これをプロットしてみると、こんな感じになります。
点Aの位置ですね。分かりにくい！なんか微妙な位置だな！と思いました。
多分、半径1の円周上になるんじゃないかなーって思います。
暇な人、ぜひ計算してみてください...
いかがでしたでしょうか。
\(5^i\)ってこのくらいなんだなｰって思ってくれればうれしいです！
任意の正の数\(\mathrm{a}\)だったら、\(a^i\)を計算できます！
ぜひ暇な方はいろいろと計算してみてください。
次回は何の数字について書こうかな！
どの数字がいいかなぁ、気分できめますね！
次回のお楽しみに！
ではまた次回！
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