大学で役に立つ今週の積分【04】解答！
みなさんこんにちは。
今日は前日の問題の解答を書いていきたいと思います！
まだ見てない人がいたら、そちらを先に見てくれると嬉しいです！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
いちおう問題の確認をしてみましょう。
【問題】
\[\int_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx\]を求めよ。
【解答】
\[\int_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx=\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx\]
ここでルートが邪魔なことに気が付きます。ここは一気に置換してみましょう。
\[\sqrt{x^2+1}=t\]とおくと、
\[x^2+1=t^2 x=\sqrt{t^2-1} dx=\frac{t}{x}dt\]
\[x:1\rightarrow 2 t:\sqrt{2}\rightarrow \sqrt{5}\]
となるので、
\[\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}\frac{t}{\sqrt{t^2-1}}dt\]
\[=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\frac{t^2}{t^2-1}dt=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\frac{t^2}{(t-1)(t+1)}dt\]
\[=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\frac{(t^2-1)+1}{(t-1)(t+1)}dt=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\frac{(t-1)(t+1)+1}{(t-1)(t+1)}dt\]
\[=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\left(1+\frac{1}{(t-1)(t+1)} \right)dt=\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}\left(1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1} \right) \right)dt\]
\[=\left[t+\frac{1}{2}\log(t-1)-\frac{1}{2}\log(t+1) \right]^{\sqrt{5}}_{\sqrt{2}}\]
\[=\sqrt{5}+\frac{1}{2}\log(\sqrt{5}-1)-\frac{1}{2}\log(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}-\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}-1)+\frac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)\]
\[=\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{2}\left(\log\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}+\log\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)\]
よって答えは②です！
1番最初に正解した「とーやんまたの名を@大学用垢」さん、おめでとうございます！
いかがでしたでしょうか？
また来週の積分もお楽しみください！ではまた次回！
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