【中学数学01】高さの異なる三角柱
みなさんこんにちは。
最近花粉症がつらいはせです。
今回は高校受験に関わる話をしていこうかなと思います！
話す内容は主に中学数学です！
塾でバイトしてる人にも見てもらいたし、中学生の皆さんにも見てもらいたいです！
今回はこちらです！
先日このような問題を見かけました。
\[角DFEは90度\]
それぞれの高さがバラバラですね。この問題、どうやって解くでしょう。
下に自分なりに解説していきます！
では行きましょう！
【解答】
まずはどこから手を付けましょうか。
切り取られた図形と考える？それでやっても切り取られる図形の面積を求めるのが難しそうです。
とりあえずここは分けてみましょう。その理由はのちに分かります。
「どこで分けるの？」
それは次の図のように分けてください。
高さ\(CF\)のところで分けてみてください。皆さんはこの分けられた形を見てどう思いますか？
そうです。これは底面が\(DEF\)の三角柱と、底面が\(ABHG\)の三角錐と見れると思います。
これを知ってからもう一度、先ほどの図形を見てください。確かに三角柱と三角錐の2つによって構成されていますね。
以上によりこれからの方針は決まりました。それぞれ三角柱と三角錐の面積を求めてば良いのです。さぁ、求めていきましょう。
話を分かりやすくするために、求めたい全体の体積を\(V\)とし、三角柱を\(V_{1}\)、三角錐を\(V_{2}\)と置いておきます。
まずは三角柱です。これは簡単ですね。
底面積を\[S=EF\times DF \times \frac{1}{2}\]と置きましょう。
すると三角柱の体積は、\[V_{1}=\frac{1}{2}EF\times DF \times HE=S \times HE\]となりますね。
次に三角錐に行きましょう。これはさっきと比べるとめんどくさいかも？目の付け所がポイントです。
高さを下の図のように取りましょう。また、その高さと\(HG\)の交点を\(K\)としておきます。
この高さ\(KC\)を使って体積を表しましょう。
すると三角錐の体積は、\[V_{2}=\frac{(BH+AG)HG}{2} \times \frac{KC}{3}\]
\[V_{2}=\frac{1}{6}(BH+AG)HG\times KC\]
と書けますね。ここで少し考えてみましょう。何についてか？それは\(V_{2}\)についてです。変形できませんか？
今回\(角DFEは90度\)です。つまり、三角形\(HCG\)は三角形\(EFD\)と等しいですね。
これより\(V_{2}\)は、
\[V_{2}=\frac{1}{6}(BH+AG)HG\times KC=\frac{1}{3}(BH+AG)S\]
となりますね。
これらより、\(V\)を求めていきましょう。
\[V=V_{1}+V_{2}=S \times HE+\frac{1}{3}(BH+AG)S\]
\[V=S\left(\frac{3HE+BH+AG}{3}\right)\]
\[V=S\left(\frac{HE+(HE+BH)+(HE+AG)}{3}\right)\]
ここで辺の長さを確認してみてください。
\[BH + HE=BE , AG + GD=AD , HE=CF\]となりますね。これを用いると\(V\)は、
\[V=\frac{S}{3}(CF+BE+AD)\]
と書けますね。
なんと、異なる長さの平均を取ればいいという結果になりました！すごいですね！
ここで、サムネイルの問題の答えです。
\[V=\frac{1}{2}(2\times 3) \times \frac{1}{3}(2+4+6)\]
\[V=3\times 4=12\]
でした。
どうでしたか？
また機会があれば、今回のような中学数学も書いていきたいと思います！
ではまた次回！
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