【高校数学06】対数微分法とは…？
みなさんこんにちは。
今回は、
「え、なんでこんなことするの？」
と感じる人が多いと思う対数微分法について考えていきたいと思います！
では行きましょう！
今回とる\(\log\)の底はすべて自然対数\(e\)とします。
そもそも対数微分法とは
対数微分法と言ってもいまいちピンと来てない人もいると思います。
言葉で説明すると、
「両辺対数を取ってから微分する方法」
と言えると思います。
式で書くと次のようになります。
\(y=f(x)^{g(x)}と置く。\)
この関数の\(\log\)を取ると、次のようになる。
\[\log y=g(x) \log {f(x)}\]
これを両辺\(x\)で微分する。すると、\[\frac{d}{dx}\log x=\frac{x'}{x}=\frac{1}{x}\]となることを用いると、
\[\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}(g(x)\log f(x))\]
となり、両辺に\(y\)をかければ、求めたい\(y'\)を求めることができ、\[y'=y\frac{d}{dx}(g(x)\log f(x))=f(x)^{g(x)}\frac{d}{dx}(g(x)\log f(x))\]
となります。
この方法を使って微分した式を求めるのです。
「なんでこんなめんどくさいことをするの…？」
こう思う人もいると思います。
次を見てみてください！
なんでやるの？
何でやるのか。これの私なりの答えは、
「こうしないと解けないから！」
です。
これを使うと効果的な場合は高校数学ならば、2つあります。
- \(xの式をx乗している関数\)
- \(y=f(x)^{g(x)}\)
1の例は、\[y=(\tan x)^x\]
や、\[y=x^x\]
があります。\(y=x^x x>0\)は対数微分法を使う例として有名ですね。
使う場合も分かったことですし、例題を確認してみましょう！
例題
今回は、\[y=x^x (x>0)\]をやっていきましょう。
対数微分法をしなければならない関数の中で最も有名で、感覚をつかめると思います。
【解答】
\[y=x^x\]と置く。
まず、両辺の\(\log\)を取る。
すると、\[\log y=x\log x\]となり、これを両辺xで微分すると、
\[\frac{y'}{y}=\frac{d}{dx}(x\log x)\]となります。
ここで右辺を計算していこう。
\[\frac{d}{dx}(x\log x)=\log x +x・\frac{1}{x}=\log x +1\]
となる。これより、
\[\frac{y'}{y}=\log x +1\]\[y'=x^x(\log x +1)\]
これが答えとなります。
どうでしょう？対数微分法を用いると、\[y=\sqrt[3]{\frac{(4x-1)^4}{(2x-1)^2(x^2-2)}}\]なども解けるようになります。
これを言うと、\[[y=\frac{(4x-1)^4}{(2x-1)^2(x^2-2)}\]も対数微分法を用いると、計算がだいぶ楽になります！
時間があれば各自でやってみてください！これをすれば対数微分法にはなれることが出来ると思います。
ではまた次回！
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