【高校数学02-2】置換のありがたみについて！
前回の記事の続きです！
先にこちらの記事をご覧になることを推奨します！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
では本編行きます！
前回の問題覚えてますか？
(3)\[\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} (4x\sin^2 x\log(x\sin x)+4x^2\sin x\cos x\log(x\sin x)) dx\]
この解答をずらーって書いていきます。
せめて置換して出した解答の方は見てください！感動しますよ！（数Ⅲ必要かも…）
では行きます。
- 置換あり
まずはどうしましょうか。この式を少しいじってみましょう。
\[\int^{\frac{π}{3}}_{\frac{π}{6}} (4x\sin^2 x\log(x\sin x)+4x^2\sin x\cos x\log(x\sin x))dx\]
\[=\int^{\frac{π}{3}}_{\frac{π}{6}} 4x\sin x\log(x\sin x){(\sin x+x\cos x)}dx\]
ここで\(t=x\sin x\)と置いてみましょう。面白いことがおきます。
\(x\)を\(t\)で微分すると、\(dt=(\sin x+x\cos x)dxが得られ\)、積分範囲も、
\[x:\frac{π}{6}→\frac{π}{3}より、t:\frac{π}{12}→\frac{\sqrt{3}π}{6} となります。\]
これを問題の式に代入すると、
\[4\int^{\frac{\sqrt{3}π}{6}}_{\frac{π}{12}} t\log tdt\]
になります。めちゃくちゃ簡単そうに見えません？！ここからは普通に計算していきましょう。部分積分法を使います。
\[4\int^{\frac{\sqrt{3}π}{6}}_{\frac{π}{12}}(\frac{1}{2}t^2)' \log tdt=4\left[\frac{1}{2}t^2 \log t\right]^{\frac{\sqrt{3}π}{6}}_{\frac{π}{12}}-4\int^{\frac{\sqrt{3}π}{6}}_{\frac{π}{12}}\frac{1}{2}t^2\frac{1}{t}dt\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log (\frac{\sqrt{3}π}{6}-\log{\frac{π}{12}})-\left[t^2\right]^{\frac{\sqrt{3}π}{6}}_{\frac{π}{12}}\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log (\frac{\sqrt{3}π}{6}-\log{\frac{π}{12}})-\frac{11}{144}π^2\]
となります。まぁ、置換して楽な計算に持っていくことが出来ましたね。
（数字の計算が一番難しいかも…）
さぁ、次は地獄です。頑張りましょう。
- 置換無し
\[\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} (4x\sin^2 x\log(x\sin x)+4x^2\sin x\cos x\log(x\sin x)) dx\]
\[=\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} (2x(1-\cos 2x)\log(x\sin x)+2x^2\sin 2x\log(x\sin x)) dx\]
\[=2\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} \log(x\sin x)(x-x\cos 2x+x^2\sin 2x)dx\]
\[=2\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} \log(x\sin x)(x^2\sin^2 x )'dx \]\[(∵\int(x-x\cos 2x+x^2\sin 2x)dx=x^2\sin^2 x+Cより)\]
\[=2\left[\log(x\sin x)(x^2\sin^2 x )\right]^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}-2\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}(\frac{\sin x+x\cos x}{x\sin x})(x^2\sin^2 x)dx\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log (\frac{\sqrt{3}π}{6}-\log{\frac{π}{12}})-2\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}(\sin x+x\cos x)(x\sin x)dx\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log \frac{\sqrt{3}π}{6}-\log \frac{π}{12})-2\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}(\frac{1}{2}x(1-\cos2x)+\frac{1}{2}x^2\sin 2x)dx\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log \frac{\sqrt{3}π}{6}-\log \frac{π}{12})-\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}(x(1-\cos2x+x\sin 2x))dx\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log \frac{\sqrt{3}π}{6}-\log \frac{π}{12})-\left[x^2 \sin^2 x \right]^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6}\]
\[=\frac{π^2}{72}(12\log \frac{\sqrt{3}π}{6}-\log \frac{π}{12})-\frac{11}{144}π^2\]
出ました。絶対置換したほうが楽ですよね！！！
受験会場でこうならないように、みなさんは置換をする微積分の演習をしっかり行ってください！
そうすれば受験会場でも置換を用いて解くことが出来るはずです！
何かわからないことなどあればtwitter公式アカウントまで連絡ください！
ではまた次回！
学び舎栄智は主に筑波大生で運営しているオンライン学習塾です。受験のことで何かわからないことがありましたら、連絡してきてください！きっと求めている答えが来ると思います。
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