【高校数学02-1】置換のありがたみについて！
みなさんこんにちは。
最近、綺麗な紅葉の葉も散ってきてしまいましたね。
これから先は本格的な冬です。皆さん体調管理には本当に気を付けてください。
今回は、数学関連の記事を書いていこうと思います。
前回の数学関連の記事もあるので、そちらもご覧ください！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
では、本編！
昨日友達で数学をしているときに、ふと私は思いました。
「置換ってすごくね…？」
今回は置換について、話していきたいと思います。
ぜひ読んで見てください！
数Ⅲ未履修者でもわかるように書くので、（数学アレルギーの耐性を持っている）文系の皆さんも見てみてください！
では行きましょう！
そもそも置換とは？
置換とは…？！
これがあると、積分の計算を楽にしてくれる場合があります。
慣れてくると、「ここをこう置けばいいのかな？」とか思うようになります。
今から少しだけ、理系ホイホイの式を書きます。
積分では、
\(x=g(t)と置換すると、\)
\[\int f(x)dx=\int f(g(t))\frac{dx}{dt}dt\]となりますし、
微分では、
\(x=g(t)と置換すると、\)
\[\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}f(g(t))=f'(g(t))g'(t)\]となります。
これだけ見たら身持ち悪いですよね！（笑）
今からこれをするメリットを話してから、実際の例題をいくつか示していきたいと思います。
置換をするメリット
まず1つとして複雑な計算を楽にできるということです。これを知ってるか知ってないかで、計算スピードが全然違います。
色々あるかなーって考えてみましたけど、やっぱり一番のメリットは計算が楽になり、かつ早く計算できる、ということでした。
これを下の例題などでしっかり体感してみてください。
簡単な例題
今から簡単な例題をここに示してみたいと思います。
(1)\[\int (x+1)^3dx\]
どうでしょう。展開して計算すればいいでしょうが、めんどくさい！
ここで次のように置換してみましょう。
\(x+1=tと置く。\)
\(x\)を\(t\)で微分すると、\(x=t-1として計算すると、\)
\[dx=dt\]となる。
これより(1)の積分は、
\[\int t^3dt=\frac{1}{4}t^4+C=\frac{1}{4}(x+1)^4+C\]
となります。ここでCは積分定数とします。
このように置換すると楽に計算できることが出来ます。
置換の積分で大事なことを次にまとめておきます。
ちなみに微分はどうなるでしょうか？
簡単な例題を書いておきましょう。
(2)\[\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}(x^2+1)^3\]
どう置換してみましょうか。とりあえず\(t=x^2+1と置いてみましょう。\)
これを式に代入して考えると、
\[\frac{d}{dx}t^3=\frac{d}{dt}\frac{dt}{dx}t^3=\frac{d}{dt}t^3\frac{d}{dx}t\]
\[\frac{d}{dx}f(x)=3t^2 t'=2x3(x^2+1)^2=6x(x^2+1)^2\]
このように計算することが出来ました。この微分は合成関数の微分と同じですね。
次に置換することで楽に計算できる難しい関数を計算してみましょう。
もちろん、置換するバージョンとしないバージョンを乗せるので、恩恵を再確認してみてください。
少し難問に挑戦！
一応高校範囲です！確認適度にどうぞ！（数Ⅲの知識がいると思うので理系の人向けかな？）
置換に注目すると、計算はとても楽になると思います。
しかしこれを初見で見るとちょっと難しい感じると思います。（一応作問私です）
1回やってみてください。
(3)\[\int^{\frac{π}{3}}_\frac{π}{6} (4x\sin^2 x\log(x\sin x)+4x^2\sin x\cos x\log(x\sin x)) dx\]
どうでしょう。ぜひ計算してみてください！
ではまた次回！詳しい答えは明日投稿したいと思います。
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