大学で役に立つ今週の積分03【解答】
みなさんこんにちは。
今日は前日の問題を解説していきたいと思います。
前回の問題はこちらでしたね。
\[\int_{-2}^{2} (x^3 \cos {\frac{x}{2}}+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx\]を求めよ。
この問題のポイントは、奇関数と置換です！
では行きましょう！
【解答】
\[\int_{-2}^{2} (x^3 \cos {\frac{x}{2}}+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx=\int_{-2}^{2}x^3\cos \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2}dx+\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\]
ここで、\(x^3\)に注目してください。これは\(-2から2\)の範囲では0となると思います。これは実際にグラフに書いてみるとわかると思います！
すると、\[\int_{-2}^{2} (x^3 \cos {\frac{x}{2}}+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx\]は、\(A\)と置くと、
\[A=\int_{-2}^{2} (x^3 \cos {\frac{x}{2}}+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx=\frac{1}{2} \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}dx\]となりますね。
すごく簡単になりましたね！これなら置換するだけでできますね。
確認してみましょう。
\[A=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=2\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx\]
これを計算していきましょう。
\[x=2\sin \theta\]と置きましょう。定義域は\[0<\theta<\frac{\pi}{2}\]としておきます。この定義域では、\[\cos \theta>0\]となります。
すると、\[dx=2\cos\theta d\theta\]となり、
\[x : -2\longrightarrow 2 は \theta : 0\longrightarrow \frac{\pi}{2}\]
となるますね。これを用いると\(A\)は、
\[A=2\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^2}dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{4-4\sin^2\theta} \cdot 2\cos \theta d\theta\]
\[=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta\]
しかしこのままでは積分ができません。半角の公式を使ってみましょう。すると、
\[A=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2 \theta d\theta=4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta\]
となります。これで計算していきましょう。
\[4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}dx+2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos2\theta dx\]
\[=2( \left(\frac{\pi}{4} \right)-\left( -\frac{\pi}{4} \right))=\pi\]より、答えは、
\[\int_{-2}^{2} (x^3 \cos {\frac{x}{2}}+\frac{1}{2})\sqrt{4-x^2}dx=\pi\]となります。
きれいでしょう！\(\pi\)になる問題を見つけることが出来ました。
これは一昔前に流行った問題です。
ロンドン？にあるなんかの建物のフリーwifiのパスワードがこれの10桁だったっていう話だった気がします。
こんな感じで面白い積分問題もあるので、ぜひ他も探して見てください！
ではまた次回！
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