【高校数学05】極限値をすぐに求める方法！
みなさんこんにちは。
今回は共通テストでも役に立つ、数学の知識を1つ紹介したいと思います！
これを知ってると知ってないでは解くスピードに大きな差が出来ます！ぜひ覚えてみてください！
今回は極限値を早く求める方法です！
では見ていきましょう！
さっそくですが、あなたはこの極限値を求めるのに何秒かかりますか？
(問)\[f(x)=x^3-x^2-2x+2\]の極小値を求めよ。
極小値？簡単じゃね？って思う人もいると思います。けどこの計算、ちょっとめんどくさいの分かりますか？
少し解いていきましょう。
\[f(x)=x^3-x^2+2x+2\]を1回微分した式は、\[f'(x)=3x^2-2x-2\]となります。
この微分された式＝0を考えると、\[x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{3}\]となります。
今回\(x^2の係数＞0\)となっているので、
\[x=\frac{1-\sqrt{7}}{3}が極大値\]\[x=\frac{1+\sqrt{7}}{3}が極小値\]とわかります。
極小値を求めるには、これを式に代入すればいいだけですが、ルートもあるし分数なので、本当めんどくさい！
ここで1つ計算するコツを紹介します。
これは著者自身高校生の時に使っていた手法です。
まず質問です。7を2で割ると、どう書けますか？
なんでこんなことを聞くのか？それは後程分かります。
この質問の答えは、\[7÷2=3あまり1\]となりますね。
また、これを7＝の形にすると、\[7=2×3+1\]ともなりますね。
また、これを文字で表すと、
\[割られる数÷割る数＝商あまり〇\]
となるます。これを確認として思い出してほしかっただけです。
本題に戻ります。
試しに\(f(x)をf'(x)で割ってみてください。\)
商をP(x)、余りをR(x)と表し、f(x)＝の形にすると、
\[f(x)=P(x)f'(x)+R(x)\]となります。（分かりにくかったら実際に筆算で書いてみてください。）
また\(P、Rはxの入る式になるので、(x)をつけています。\)
これを用います。
\[f'(a)＝0となるa=0を代入する\]
\[⇊\]
\[f(x)=P(x)f'(x)+R(x)は、実質f(a)=R(a)となる。\]
これを使うと、計算が本当に楽です！
実際に今回の問題もこれで解いてみましょう。
今回、\[f(x)=x^3-x^2+2x+2\]を1回微分した式は、\[f'(x)=3x^2-2x-2\]となります。
つまりこの商と余りを考えればよいのです。
商と余り、それぞれP、Rと表すと、
\[P=\frac{1}{3}x-\frac{1}{9}、R＝-\frac{14}{9}x+\frac{16}{9}\]となることが分かります。
つまり今回、\[f_{(\frac{1+\sqrt{7}}{3})}=-\frac{14}{9}(\frac{1+\sqrt{7}}{3})+\frac{16}{9}\]
を計算すればいいのです。これだと楽に計算できますね！
答えは、\[f_{(\frac{1+\sqrt{7}}{3})}=\frac{-14-14\sqrt{7}}{27}+\frac{48}{27}\]
\[∴ f_{(\frac{1+\sqrt{7}}{3})}=\frac{34-14\sqrt{7}}{27}\]となるます。この方が楽に極限値が計算できますよ！
これで共通テストの微積の無理数の関わる極限値を求める計算は計算ミスが減ると思います。
ぜひ使えるように練習してみてください！
ではまた次回！
学び舎栄智は主に筑波大生で運営しているオンライン学習塾です。受験のことで何かわからないことがありましたら、連絡してきてください！きっと求めている答えが来ると思います。
AC、推薦、前期、後期入試で気になっていることでも大丈夫です。聞きたいことがあれば下のtwitterアカウントまで！
