【第2回】この極限ってなんだろう？解答！！
みなさんどうもこんにちは。
はせです。
今回は昨日出した問題の解答を載せていこうと思います！
まだ前回のを見てないよ～って人がいたら先にそちらをご覧ください！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
ではいきましょう！
問題は次のようなものでしたね。
【問題】
\(a\)を正の整数とし、\([x]\)を実数\(x\)を超えない最大の整数とします。
この時、
\[\lim_{n\to a}[a]\]
ってなんだろう？
でしたね。
では解答の方に行きましょう！
【解答】
\([x]\)ってなんだかわかりますか？そうですよね。ガウス記号です。
\(x\)を実数とします。この時すべての\(x\)に対して、\[n\leq x<n+1\]となる整数\(n\)がただ一つ存在します。この時に、
\[[x]=n\]
と表す、つまり\([x]\)とは\(x\)の整数部分を表しているものでしたね。
グラフにしてみるとこんな感じ。
次に「極限というものの意味」について考えてみましょう。
まず、\[\lim_{n\to a}f(x)=f(a)\]としていい条件とはなんでしょうか？
それは、「\(x=a\)において関数\(f(x)\)が連続な時」です。
つまり連続でない限り代入してはいけない！ということですね。
今回の問題はどうでしょう。
連続ではない！ていうことは代入するだけでは答えになりません。
次に数3で行う話になりますが、不連続関数の極限の求め方について考えてみましょう。
不連続関数が極限を持つためには、右極限と左極限を持ち、かつ同じ値にならなければならないという条件があります。
数式で書くと、
\[\lim_{n\to a+0}f(x)=\lim_{n\to a-0}f(x)=\alpha\]の時、\[\lim_{n\to a}f(x)=\alpha\]に収束する。
となりますね。
では今回の問題、\[\lim_{n\to a}[n]\]について考えていきましょう。
\[\lim_{n\to a-0}[n]=a-1\]
\[\lim_{n\to a+0}[n]=a\]
以上より、なんと右極限と左極限が異なってしまいました。
なんとなんと、今回の問題の答えは
「極限はない」でした。
いかがでしたでしょうか！
いつも普通にしてしまっていた極限も、
①連続な関数なのか
②右極限と左極限が何の値に収束するのか
を考えてこれからもやってみてください！
ではまた次回！
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