【第6回】この極限って何だろう？解答！！
みなさんこんばんは。はせです。
今日は昨日に公開した問題の解答を書いていこうと思います！解き方（評価の仕方）は1つしかないので、自分が思いついた解答と同じだったか見てみてください。
そして、もし自分が考えてた解答が書いてなければぜひ教えてください...！（公式twitterのDMにお願いします！）
では本編に移りましょう。確か問題はこちらでしたね。
\[\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n^2+k}\]
極限の問題であるにも関わらず、総和記号（シグマ）がついてますね。
では解答に行きましょう！
【解答その1】
上の極限を、
\[\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n^2+k}=\lim_{n\to \infty}A_n\]
と置いておきます。
ここで\(A_n\)の評価をしていきましょう。まずは次のように評価してみましょう。
\[A_n=\frac{\pi}{n^2+1}+\frac{\pi}{n^2+2}+\frac{\pi}{n^2+3}+・・・+\frac{\pi}{n^2+n}\]
\[=\pi\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+\frac{1}{n^2+3}+・・・+\frac{1}{n^2+n}\right)\]
\[< \pi\left(\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+1}+・・・+\frac{1}{n^2+1}\right)\]
\[=\pi \frac{n}{n^2+1}=\pi \frac{1}{n+\frac{1}{n}}\]
となる。
ここで、\[0<A_n\]であることも考えると、
\[0<\sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n^2+k}<\pi \frac{1}{n+\frac{1}{n}}\]
の関係式が得られる。この不等式の\(n\)を無限大に飛ばすと、
\[0<\lim_{n\to \infty}<\lim_{n\to \infty}\pi \frac{1}{n+\frac{1}{n}}\]
となる。
これよりはさみうちの原理より、
\[\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n} \frac{\pi}{n^2+k}=0\]といえる。つまり答えは0です。
先ほどの解答よりも簡単な方法で見てみましょう。
それでは次の解答に移ります。
【解答その2】
例えば自然数\(a,b\)、（\(a<b\)）を持ってくると、
\[\frac{1}{b}<\frac{1}{a}\]が成り立ちますよね。これを頭の片隅に入れてやっていきましょう。
今回、\(nとk\)は自然数であるので、\(n^2+k>n^2>n\)が成り立つので
\[\frac{\pi}{n^2+k}<\frac{\pi}{n^2}<\frac{\pi}{n}\]
の不等式も成り立ちます。
つまり、
\[\lim_{n\to \infty}A_n<\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi}{n^2}<\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi}{n}\]
この関係より、はさみうちの原理を用いると、
\[0<\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi}{n^2+k}<\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi}{n}\]
より、
\[\frac{\pi}{n^2+k}<\frac{\pi}{n^2}<\frac{\pi}{n}\]
が成り立ちます。
他にも考えてみました。けどこれは解答その1と似てるかなぁって感じの解答です。
【解答その3】
\(k\)を\(1,2,3,・・・,n\)の自然数とする。この時、
\[\frac{1}{n^2+n}\leq \frac{1}{n^2+k}\leq \frac{1}{n^2+1}\]
が成り立つ。これを用いて考えていく。
\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+n}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+k}\leq \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n^2+1}\]
\[\frac{n}{n^2+n}\leq \frac{1}{n^2+1}+\frac{1}{n^2+2}+・・・+\frac{1}{n^2+n}\leq \frac{n}{n^2+1}\]
\[\lim_{n\to \infty}\frac{\pi n}{n^2+n}\leq \lim_{n\to \infty}\left(\frac{\pi}{n^2+1}+\frac{\pi}{n^2+2}+・・・+\frac{\pi}{n^2+n} \right)\leq \lim_{n\to \infty}\frac{\pi}{n^2+1}\]
ここで、
\[\lim_{n\to \infty}\frac{\pi n}{n^2+n}=0\]
\[\lim_{n\to infty}\frac{\pi n}{n^2+1}=0\]
であるので、はさみうちの原理より、
\[\lim_{n\to \infty}\left(\frac{\pi}{n^2+1}+\frac{\pi}{n^2+2}+・・・+\frac{\pi}{n^2+n} \right)=\lim_{n\to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{\pi}{n^2+k}=0\]
が示せます。
いかがでしたでしょうか。今回は3つの解法を乗せておきました。1つの問題なのに様々なアプローチの仕方がありましたね。多分これ以外にもあると思うのでもしあれば教えてください！
ではこれで今回の「この極限って何だろう？」の方を終わりたいと思います！
ではまた次回！
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