【第5回】この極限って何だろう？解答！！
みなさんこんにちは。はせです。
今日はいい天気ですね。暖かいけど風が冷たいなぁって思いました。
本日は昨日公開した問題の解答を書いていこうと思います！
ちなみに問題が乗っている記事はこちらになっています。良かったら先に見てください！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
ちょっと脱線しますが、これ黒板に書いたんですけど、難しかったです...
学校の先生とかキレイに書けてすごいなぁって本当に思いました。
では本題に戻ります。
解答紹介！ちなみにこの問題、パッと見何から手を付けていいのか分からなくて「？？」ってなると思います。
実はこの問題、定義に立ち返るのが大事です。
極限の定義ってこれですよね。
\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
これを使います。
では解答を書いていこうと思います！
【解答】
まず問題の確認です。
\[f(t)=\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\int_{0}^{t}\sqrt{4-3(\sin\theta)^2}d\theta\]
この問題、局限の定義に近づけるにはどうすればよいでしょうか。
とりあえず次のように変えてみましょう。
\[f(t)=\lim_{t\to 0}\frac{\int_{0}^{t}\sqrt{4-3(\sin\theta)^2}}{t-0}d\theta\]
ここで\[F(\theta)=\int \sqrt{4-3(\sin \theta)^2} d\theta+C\]と置いてみましょう。
ちなみにこの微分は、
\[F'(\theta)=\sqrt{4-3(\sin \theta)^2}\]となることに注意しましょう。
こう置くことにより、
\[f(t)=\lim_{t\to 0}\frac{[F(\theta)]^{t}_{0}}{t-0}=\frac{F(t)-F(0)}{t-0}\]
\[f(t)=F'(0)=\sqrt{4-0}=2\]
以上により
\[f(t)=\lim_{t\to 0}\frac{\int_{0}^{t}\sqrt{4-3(\sin\theta)^2}}{t-0}d\theta=2\]
となります。
今回の問題は
定義に立ち返ることが大事な問題でしたね。
次回はどんな問題にしようかな。
こんなのがいいんじゃない？ってのがあれば公式アカウントに連絡ください！もしかしたらその問題が採用されるかも？
ではまた次回！
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