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【第1回】この極限ってなんだろう?解答!!

みなさんどうもこんにちは。

はせです。

 

 

 

 

今回は昨日作成した記事の解答を書いていこうと思います!

一日あいてしまいました!ごめんなさい!!

前回の記事を見ていない方は、先にそちらを見てみてください!

 

manabiya-eichi07.hatenablog.com

 

では行きましょう!

 

 

 

 

前回の問題ってなんだったかな~って思うので、下に書いてみようと思います。

【問題】

\(n\)は正の実数とします。

 \[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}\]

は?

 

 

ぱっと見、eの定義式に近いものを感じますが、ちょっと違いますね。

どうやって解くのでしょうか?

 

 

【解答】

 さきほどeの定義式に近いものを感じると書きましたね。

復習になりますが、eの定義式とは

\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]

ですね。

 

似ているのでこれを生かしてやっていきましょう。

\[a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n , b_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}\]

とおいてみましょう。

しかし\(b_n\)の指数部分は、\(-n乗\)なのでやりにくいです。\(n乗\)にしてみましょう。

どうすればよいでしょうか?逆数を取ってしまいましょう。

\[\frac{1}{b_n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\]

 

これって、\(a_n\)を使って表すこと出来ないですかね?

 

\[\frac{1}{b_n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{\frac{1}{n}}\]

\[\frac{1}{b_n}=(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\] となりますね。

 

 

ここで、正の範囲で\[f(x)=(1+\frac{1}{x})^x\]

が、単調増加であり、0<f(x)<3であることを示しましょう。

 

 

今回の微分は、指数部分に\(x\)があるので対数微分法を用いる必要性があります。

前に似たような記事を書きましたので、詳しくはそちらをご覧ください!

 

manabiya-eichi07.hatenablog.com

 

てことで、微分していこうと思います。

\[\log f(x)=x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\]

\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\]

\[f'(x)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]

しかしこれだけでは分かりません。分からない部分を\(g(x)\)とでも置いて、底について考えてみましょう。

\[f'(x)=g(x)\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]

 

\[g(x)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\]

\[=\log\left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\]

\[=\log\left(x+1\right)-\log\left(x\right)-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\]

 

\[g'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\]

\[\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}\]であることより、\(g'(x)\)は、

\(g'(x)<0\)である。

\[\lim_{n\to\infty}g(x)=0\]であることも考えると、\(g(x)\)は、\(g(x)>0\)であることが分かります。

 

\(f'(x)\)に戻りましょう。\(g(x)>0\)であるのでf'(x)は、\(f'(x)>0\)となる。

また、\(f(x)\)は負になる要素がないので、\(f(x)>0\)となる。

以上より、f(x)は単調増加であることが言えましたね。

 

 

またこれより、\(0<f(x)<3\)も言えました。

 

 

この話より、\[a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]は、すべての\(n\)で単調増加であり、

\[0<a_n<3\]であることが言えましたね。

 

 

 

 

話を本題に戻しましょう。

\[\frac{1}{b_n}=(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\]でした。今回\((a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\)は、

\[0^{\frac{1}{n}}<(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<3^{\frac{1}{n}}\]となります。

 

ここではさみうちの原理より、

 

\[\lim_{n\to\infty}0^{\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}3^{\frac{1}{n}}\]

\[1<\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<1\]

 

これより、

\[\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b_n}\right)=1\]

が言えますね。

 

また、上式が成り立つのであれば、\[\lim_{n\to\infty}b_n=1\]

も成り立たなければいけませんね。

 

 

よって答えは、

\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}=1\]

 

となります!

 

 

以上になります!いかがでしたでしょうか?

また来週もやろうと思うので是非ご覧ください!

ではまた次回!

 

 

 

 

 

 

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