【第1回】この極限ってなんだろう?解答!!
みなさんどうもこんにちは。
はせです。
今回は昨日作成した記事の解答を書いていこうと思います!
(一日あいてしまいました!ごめんなさい!!)
前回の記事を見ていない方は、先にそちらを見てみてください!
manabiya-eichi07.hatenablog.com
では行きましょう!
前回の問題ってなんだったかな~って思うので、下に書いてみようと思います。
【問題】
\(n\)は正の実数とします。
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}\]
は?
ぱっと見、eの定義式に近いものを感じますが、ちょっと違いますね。
どうやって解くのでしょうか?
【解答】
さきほどeの定義式に近いものを感じると書きましたね。
復習になりますが、eの定義式とは
\[e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]
ですね。
似ているのでこれを生かしてやっていきましょう。
\[a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n , b_n=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}\]
とおいてみましょう。
しかし\(b_n\)の指数部分は、\(-n乗\)なのでやりにくいです。\(n乗\)にしてみましょう。
どうすればよいでしょうか?逆数を取ってしまいましょう。
\[\frac{1}{b_n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n\]
これって、\(a_n\)を使って表すこと出来ないですかね?
\[\frac{1}{b_n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right]^{\frac{1}{n}}\]
\[\frac{1}{b_n}=(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\] となりますね。
ここで、正の範囲で\[f(x)=(1+\frac{1}{x})^x\]
が、単調増加であり、0<f(x)<3であることを示しましょう。
今回の微分は、指数部分に\(x\)があるので対数微分法を用いる必要性があります。
前に似たような記事を書きましたので、詳しくはそちらをご覧ください!
manabiya-eichi07.hatenablog.com
てことで、微分していこうと思います。
\[\log f(x)=x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\]
\[\frac{f'(x)}{f(x)}=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\]
\[f'(x)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]
しかしこれだけでは分かりません。分からない部分を\(g(x)\)とでも置いて、底について考えてみましょう。
\[f'(x)=g(x)\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\]
\[g(x)=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x(x+1)}\]
\[=\log\left(\frac{x+1}{x}\right)-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\]
\[=\log\left(x+1\right)-\log\left(x\right)-\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}\]
\[g'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\]
\[\frac{1}{x+1}<\frac{1}{x}\]であることより、\(g'(x)\)は、
\(g'(x)<0\)である。
\[\lim_{n\to\infty}g(x)=0\]であることも考えると、\(g(x)\)は、\(g(x)>0\)であることが分かります。
\(f'(x)\)に戻りましょう。\(g(x)>0\)であるのでf'(x)は、\(f'(x)>0\)となる。
また、\(f(x)\)は負になる要素がないので、\(f(x)>0\)となる。
以上より、f(x)は単調増加であることが言えましたね。
またこれより、\(0<f(x)<3\)も言えました。
この話より、\[a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\]は、すべての\(n\)で単調増加であり、
\[0<a_n<3\]であることが言えましたね。
話を本題に戻しましょう。
\[\frac{1}{b_n}=(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\]でした。今回\((a_{n^2})^{\frac{1}{n}}\)は、
\[0^{\frac{1}{n}}<(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<3^{\frac{1}{n}}\]となります。
ここではさみうちの原理より、
\[\lim_{n\to\infty}0^{\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<\lim_{n\to\infty}3^{\frac{1}{n}}\]
\[1<\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}<1\]
これより、
\[\lim_{n\to\infty}(a_{n^2})^{\frac{1}{n}}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b_n}\right)=1\]
が言えますね。
また、上式が成り立つのであれば、\[\lim_{n\to\infty}b_n=1\]
も成り立たなければいけませんね。
よって答えは、
\[\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{-n}=1\]
となります!
以上になります!いかがでしたでしょうか?
また来週もやろうと思うので是非ご覧ください!
ではまた次回!
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