【数学考察03】無理関数の積分part2
みなさんこんにちは。
今回は無理関数の積分第二弾！
\[ \int \sqrt{x^2+a} dx\]
を考えていきたいと思います！
テクニックも少し必要だと思います。では行きましょう！
今回は2つ解き方を考えましょう。
部分積分法
今回のような場合は部分積分法を使うのがよいでしょう。とりあえず計算してみましょう。
\[\int \sqrt{x^2+a} dx=\int \sqrt{x^2+a}(x)'dx\]
\[=x\sqrt{x^2+a}-\int x(\sqrt{x^2+a})'dx=x\sqrt{x^2+a}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx\]
ここで第2項の計算に注目しましょう。
\[\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int\frac{(x^2+a)-a}{\sqrt{x^2+a}}dx\]
\[=\int\frac{x^2+a}{\sqrt{x^2+a}}dx-a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}=\int\sqrt{x^2+a}dx-a\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+a}}\]
ここで前回の知識を使いましょう。見てない人はこちらを先に見てください！
manabiya-eichi07.hatenablog.com
これより、次のように計算が出来ます。
\[\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2+a}}dx=\int\sqrt{x^2+a} dx-\log|x+\sqrt{x^2+a}|\]
これより求めたい積分は、
\[\int\sqrt{x^2+a} dx=x\sqrt{x^2+a}-\int\sqrt{x^2+a} dx+\log|x+\sqrt{x^2+a}|\]
のように書けます。
\[\int\sqrt{x^2+a}dx\]を左辺に移行して、\(\frac{1}{2}\)で割れば、求めることが出来ます。つまり、
\[\int \sqrt{x^2+a}dx=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+a}+a\log{|x+\sqrt{x^2+a}|})+C\]
（Cは積分定数）
となることが分かりますね。
次の方法でも解いてみましょう！
置換を用いた積分
先に言います。この問題では置換することによって得られる恩恵がありません！
それはなぜだと思いますか？
根号のある積分で置換する理由は、根号があるままの積分は非常にめんどくさいからです。根号が無くならないならあまり意味がありません。（計算は出来ますが、部分積分法した方が楽です…）
せっかくなので、「え、意味なくね？」となるところまで見ていきましょう。
（何も知らない定で行きましょう…）
\[\int \sqrt{x^2+a}dx\]
今回は\(t=\sqrt{x^2+a}\)と置換しましょう。
根号があるままの積分は非常にめんどくさいし難しいです。こういう時はその根号ごと置換してしまいましょう！
こう置いたらある程度ここからのやり方は決まっています。まず、置換した式の両辺を2乗して根号を外しましょう。
\[t^2=x^2+a\]
ここで両辺xで微分してみましょう。
\[2t\frac{dt}{dx}=2x 、 tdt=xdx\]
次に\(dx=\)の形にするために変形していきます。
\[dx=\frac{t}{x}dt=\frac{t}{\sqrt{t^2-a}}dt\]
これを使って置換してみましょう。そうすると、
\[\int\sqrt{x^2+a} dx=\int\frac{t^2}{\sqrt{t^2-a}}dt\]
となります。
この時点でルートがでてくるので、恩恵はあまりありませんでしたね。
いかがでしたでしょうか。今回は\[\int\sqrt{x^2+a}dx\]を考えましたが、次回はもっと難しいのやってみようかな…？
これをやってほしい！というのがあれば公式アカウントに連絡ください！
ではまた次回！
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