【02】大学で役に立つ今週の積分～解答～
みなさんこんにちは。
最近寒くて、布団から出るのがつらいです。
では前回の問題の解説と行きましょう。
今回は答えが当たる人が出ませんでしたね…
よかったら答えを見てみてください！
その前に問題を確認してみましょう。
【問題】
\[0<x<\frac{\pi}{4}\]の時、\[a=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx\]
\[b=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k +1}}{k}\]と置く。この時、\[C=\frac{a}{b}\]
の値はいくつになるか。
とりあえずそれぞれを計算していきましょう。
まずは、\(a\)を解いていきましょう。
\[a=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx\]
これはどうやって積分しましょうか？
置換していけば解けないことはないですが、\(Arctan\)とかが出てきて、3.4回置換しなければいけないので、めんどくさいですね。
今回は某教育系YouTuber様がよく言っている「King Property」を使っていきましょう。
そもそもKing Propertyとは、
\[\int_{b}^{a}f(x)=\int_{b}^{a}f(a+b-x)dx\]
という物です。解説は私が書くよりも、某教育系YouTuberのをご覧になる方がよいと思います。
これを使って積分していきましょう。
（もちろんここは、\(x=\frac{\pi}{4}-t\)と置換してもできます。）
\[a=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan(\frac{\pi}{4}-x))dx\]
ここで\(\tan(\frac{\pi}{4}-x)\)は、加法定理より
\[\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan x}{1-\tan\frac{\pi}{4}\tan x}=\frac{1-\tan x}{1+\tan x}\]
と変形できますね。
これより、
\[1+\tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{1+\tan x}{1+\tan x}+\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\frac{2}{1+\tan x}\]となりますね。
これを用いて計算していきましょう。
\[a=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\tan(\frac{\pi}{4}-x)\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log\left(\frac{2}{1+\tan x}\right)dx\]
\[=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\log2-\log(1+\tan x))dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log 2dx-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\log(1+\tan x)dx\]
\[=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log2dx-a\]
つまりこれは、\[2a=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log2dx\]の計算になりますね。一気に簡単になりましたね！
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log2dx=\frac{\pi}{4}\log2\]なので、
\[a=\frac{\pi}{8}\log x\]
となります。
次に\(b\)を求めていきましょう。
\[b=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k +1}}{k}\]
\[b=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k +1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...-\frac{(-1)^{n +1}}{n}+....\]
これを見たことある人はいると思います。これは\(\log 2\)のマクローリン展開です。
よって、
\[\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k +1}}{k}=\log 2\]となります。
この話はまた後日詳しく記事にしていきたいと思うので、それを乞うご期待してください！
よって答え\(c=\frac{a}{b}\)は、
\[c=\frac{\frac{\pi \log 2}{8}}{\log 2}=\frac{\pi}{8}\]
となります！
どうでしたか？King Propertyを使えるようになると、積分計算が楽になることが結構あります！ぜひこの際に覚えてください！
ではまた次回！
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